☰

Rovnice se vzorci (x² se odečte)

Rovnice · úroveň 5 – Úroveň přijímaček

(a ± b)², roznásobení dvou závorek; členy s x² se navzájem odečtou.

Níže jsou ukázkové příklady s celým postupem řešení. Nových příkladů tohoto typu vám aplikace vytvoří neomezeně – s kontrolou výsledku, postupem krok za krokem a tiskem na papír.

Procvičit 10 příkladů Tahák – Rovnice

Příklad 1

Vyřeš rovnici a proveď zkoušku.

(x+4)2=x2+9x+7
Řešení krok za krokem
  1. 1Roznásobíme závorky
    (x+4)2=x2+2·x·4+42=x2+8x+16
    x2+8x+16=x2+9x+7
    TipVzorce: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Převedeme členy s x na jednu stranu
    x2+8x+16=x2+9x+7| − x² − 9x − 16
    Členy s x převedeme na levou stranu, čísla na pravou (k oběma stranám přičteme/odečteme totéž).
    x2+8x−x2−9x=7−16
    TipČlen, který převedeme na druhou stranu rovnice, změní znaménko.
  3. 3Sloučíme
    Levá strana:x2+8x−x2−9x=−x
    Pravá strana:7−16=−9
    −x=−9
  4. 4Vydělíme koeficientem u x
    −x=−9| · (−1)
    Obě strany vynásobíme číslem −1 (změníme znaménka).
    x=9
    x=9
    TipDělíme obě strany stejným nenulovým číslem – rovnost se nezmění. Při dělení záporným číslem pozor na znaménko výsledku.
  5. 5Zkouška
    Dosadíme x =9do původní rovnice:
    Levá strana: L =(9+4)2=132=169
    Pravá strana: P =92+9·9+7=81+9·9+7=81+81+7=169
    L = P, řešení je správné ✓
    TipZkouška se dělá dosazením do PŮVODNÍ rovnice, ne do upravené.
Výsledek: x=9

Příklad 2

Vyřeš rovnici a proveď zkoušku.

(x−2)2−x2=8
Řešení krok za krokem
  1. 1Roznásobíme závorky
    (x−2)2=x2−2·x·2+22=x2−4x+4
    x2−4x+4−x2=8
    TipVzorce: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Sloučíme členy na každé straně
    Levá strana:x2−4x+4−x2=−4x+4
    −4x+4=8
    TipSčítáme jen stejné druhy členů: x s x, čísla s čísly.
  3. 3Převedeme členy s x na jednu stranu
    −4x+4=8| − 4
    Členy s x převedeme na levou stranu, čísla na pravou (k oběma stranám přičteme/odečteme totéž).
    −4x=8−4
    TipČlen, který převedeme na druhou stranu rovnice, změní znaménko.
  4. 4Sloučíme
    Pravá strana:8−4=4
    −4x=4
  5. 5Vydělíme koeficientem u x
    −4x=4| : (−4)
    Obě strany vydělíme číslem −4 (koeficient u x).
    x=4(−4)=−1
    x=−1
    TipDělíme obě strany stejným nenulovým číslem – rovnost se nezmění. Při dělení záporným číslem pozor na znaménko výsledku.
  6. 6Zkouška
    Dosadíme x =−1do původní rovnice:
    Levá strana: L =(−1−2)2−(−1)2=(−1−2)2−1=(−3)2−1=9−1=8
    Pravá strana: P =8
    L = P, řešení je správné ✓
    TipZkouška se dělá dosazením do PŮVODNÍ rovnice, ne do upravené.
Výsledek: x=−1

Příklad 3

Vyřeš rovnici a proveď zkoušku.

(x−2)(x+2)=(x−5)2−9
Řešení krok za krokem
  1. 1Roznásobíme závorky
    (x−2)(x+2)=x2+2x−2x−4
    (x−5)2=x2−2·x·5+52=x2−10x+25
    x2+2x−2x−4=x2−10x+25−9
    TipDvě závorky násobíme „každý s každým“. Vzorce: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Sloučíme členy na každé straně
    Levá strana:x2+2x−2x−4=x2−4
    Pravá strana:x2−10x+25−9=x2−10x+16
    x2−4=x2−10x+16
    TipSčítáme jen stejné druhy členů: x s x, čísla s čísly. Členy s x² se navzájem odečtou.
  3. 3Převedeme členy s x na jednu stranu
    x2−4=x2−10x+16| − x² + 10x + 4
    Členy s x převedeme na levou stranu, čísla na pravou (k oběma stranám přičteme/odečteme totéž).
    x2−x2+10x=16+4
    TipČlen, který převedeme na druhou stranu rovnice, změní znaménko.
  4. 4Sloučíme
    Levá strana:x2−x2+10x=10x
    Pravá strana:16+4=20
    10x=20
  5. 5Vydělíme koeficientem u x
    10x=20| : 10
    Obě strany vydělíme číslem 10 (koeficient u x).
    x=2010=2
    x=2
    TipDělíme obě strany stejným nenulovým číslem – rovnost se nezmění.
  6. 6Zkouška
    Dosadíme x =2do původní rovnice:
    Levá strana: L =(2−2)·(2+2)=0·4=0
    Pravá strana: P =(2−5)2−9=(−3)2−9=9−9=0
    L = P, řešení je správné ✓
    TipZkouška se dělá dosazením do PŮVODNÍ rovnice, ne do upravené.
Výsledek: x=2

Další témata – Úroveň přijímaček

Všechna témata – Rovnice