☰

Úlohy se zbytkem

Dělitelnost · úroveň 5 – Úroveň přijímaček

Po rozdělení do skupin vždy stejný počet zbude – společný násobek plus zbytek.

Níže jsou ukázkové příklady s celým postupem řešení. Nových příkladů tohoto typu vám aplikace vytvoří neomezeně – s kontrolou výsledku, postupem krok za krokem a tiskem na papír.

Procvičit 10 příkladů Tahák – Dělitelnost

Příklad 1

Slovní úloha

Na škole v přírodě je více než 25 a méně než 70 žáků. Když se rozdělí do skupin po 9 i po 12, vždy zbude 5 žáků. Kolik žáků je na škole v přírodě?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Kdyby nic nezbývalo, byl by počet společným násobkem čísel 9 a 12. Hledaný počet je tedy o 5 větší než společný násobek.
    TipNejdřív najdi nejmenší společný násobek, pak přičti zbytek a zkontroluj podmínku z textu.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    9=3 · 3=32
    12=2 · 2 · 3=22·3
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 2 · 3 · 3
    n(9, 12) =2 · 2 · 3 · 3=36
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
  4. 4Přičteme zbytek a ověříme podmínku
    25<36+5=41<70
    Podmínce o zbytku by vyhovovalo i samotné číslo 5 (žádná celá skupina), ale v zadání je víc než 25.
    Další možnost:2 · 36 + 5=77– to už není méně než 70.
    41=9 · 4 + 5
    41=12 · 3 + 5
    TipZkouška: po rozdělení do každé skupiny musí opravdu zbýt zadaný počet.
Výsledek: 41

Příklad 2

Slovní úloha

V krabici je více než 5 a méně než 120 bonbonů. Když je rozdělíme po 5, po 6 i po 9, vždy zbude jeden bonbon. Kolik bonbonů je v krabici?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Kdyby nic nezbývalo, byl by počet společným násobkem čísel 5, 6 a 9. Hledaný počet je tedy o 1 větší než společný násobek.
    TipNejdřív najdi nejmenší společný násobek, pak přičti zbytek a zkontroluj podmínku z textu.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    5=5
    6=2 · 3
    9=3 · 3=32
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 3 · 3 · 5
    n(5, 6, 9) =2 · 3 · 3 · 5=90
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
  4. 4Přičteme zbytek a ověříme podmínku
    5<90+1=91<120
    Podmínce o zbytku by vyhovovalo i samotné číslo 1 (žádná celá skupina), ale v zadání je víc než 5.
    Další možnost:2 · 90 + 1=181– to už není méně než 120.
    91=5 · 18 + 1
    91=6 · 15 + 1
    91=9 · 10 + 1
    TipZkouška: po rozdělení do každé skupiny musí opravdu zbýt zadaný počet.
Výsledek: 91

Příklad 3

Slovní úloha

V krabici je více než 55 a méně než 130 kuliček. Když je rozdělíme po 8, po 10 i po 12, vždy zbudou 4 kuličky. Kolik kuliček je v krabici?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Kdyby nic nezbývalo, byl by počet společným násobkem čísel 8, 10 a 12. Hledaný počet je tedy o 4 větší než společný násobek.
    TipNejdřív najdi nejmenší společný násobek, pak přičti zbytek a zkontroluj podmínku z textu.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    8=2 · 2 · 2=23
    10=2 · 5
    12=2 · 2 · 3=22·3
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 2 · 2 · 3 · 5
    n(8, 10, 12) =2 · 2 · 2 · 3 · 5=120
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
  4. 4Přičteme zbytek a ověříme podmínku
    55<120+4=124<130
    Podmínce o zbytku by vyhovovalo i samotné číslo 4 (žádná celá skupina), ale v zadání je víc než 55.
    Další možnost:2 · 120 + 4=244– to už není méně než 130.
    124=8 · 15 + 4
    124=10 · 12 + 4
    124=12 · 10 + 4
    TipZkouška: po rozdělení do každé skupiny musí opravdu zbýt zadaný počet.
Výsledek: 124

Další témata – Úroveň přijímaček

Všechna témata – Dělitelnost