☰

Slovní úlohy na společný násobek

Dělitelnost · úroveň 5 – Úroveň přijímaček

Kdy se znovu potkají, nejmenší čtverec z dlaždic, ozubená kola.

Níže jsou ukázkové příklady s celým postupem řešení. Nových příkladů tohoto typu vám aplikace vytvoří neomezeně – s kontrolou výsledku, postupem krok za krokem a tiskem na papír.

Procvičit 10 příkladů Tahák – Dělitelnost

Příklad 1

Slovní úloha

Petr chodí plavat každý 10. den, Jana každý 15. den. Dnes se v bazénu potkali. Za kolik dní se tam nejdříve potkají znovu?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Hledáme nejmenší počet dní, který je násobkem obou čísel → nejmenší společný násobek.
    TipKlíčová slova „znovu současně“, „nejdříve“, „co nejmenší“ ukazují na nejmenší společný násobek.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    10=2 · 5
    15=3 · 5
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 3 · 5
    n(10, 15) =2 · 3 · 5=30
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
Výsledek: 30dní

Příklad 2

Slovní úloha

Z obdélníkových dlaždic o rozměrech 20 cm × 24 cm chceme složit co nejmenší čtverec. Všechny dlaždice jsou otočené stejně a nesmí se řezat. Kolik dlaždic na to budeme potřebovat?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Strana čtverce musí být násobkem 20 (dlaždice vedle sebe) i násobkem 24 (dlaždice pod sebou) a má být co nejmenší → nejmenší společný násobek.
    TipKlíčová slova „znovu současně“, „nejdříve“, „co nejmenší“ ukazují na nejmenší společný násobek.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    20=2 · 2 · 5=22·5
    24=2 · 2 · 2 · 3=23·3
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 2 · 2 · 3 · 5
    n(20, 24) =2 · 2 · 2 · 3 · 5=120
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
  4. 4Počet dlaždic
    vedle sebe:120:20=6
    pod sebou:120:24=5
    celkem:6 · 5=30
Výsledek: 30dlaždic

Příklad 3

Slovní úloha

Dvě ozubená kola do sebe zapadají. Menší kolo má 12 zubů, větší 54 zubů. Na začátku jsou označené zuby obou kol u sebe. Kolikrát se musí otočit menší kolo, než budou označené zuby poprvé znovu u sebe?

Řešení krok za krokem
  1. 1Co hledáme
    Počet zubů, které projdou místem dotyku, musí být násobkem počtu zubů obou kol → nejmenší společný násobek. Z něj pak spočítáme otáčky menšího kola.
    TipKlíčová slova „znovu současně“, „nejdříve“, „co nejmenší“ ukazují na nejmenší společný násobek.
  2. 2Rozložíme čísla na součin prvočísel
    12=2 · 2 · 3=22·3
    54=2 · 3 · 3 · 3=2·33
    TipDělíme postupně nejmenšími prvočísly (2, 3, 5, 7, …), dokud nezbude 1.
  3. 3Nejmenší společný násobek
    Každé prvočíslo vezmeme tolikrát, kolikrát je v rozkladu, kde se vyskytuje nejčastěji:2 · 2 · 3 · 3 · 3
    n(12, 54) =2 · 2 · 3 · 3 · 3=108
    TipNásobek musí obsahovat celý rozklad každého z čísel – proto bereme každé prvočíslo v největší mocnině.
  4. 4Otáčky menšího kola
    108:12=9
    TipZa jednu otáčku projde 12 zubů.
Výsledek: 9otáček

Další témata – Úroveň přijímaček

Všechna témata – Dělitelnost