Tahák – Dělitelnost

Všechna pravidla na jednom místě. Vytisknete ho přes tisk v prohlížeči (Ctrl+P).

Násobek a dělitel

42=6 · 7

6 je dělitelem čísla 42 (42 : 6 = 7 beze zbytku), 42 je násobkem čísla 6.

Násobky čísla 6: 6, 12, 18, 24, … (nekonečně mnoho). Dělitelé čísla 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Dělitele hledáme po dvojicích: 1 · 42, 2 · 21, 3 · 14, 6 · 7.

Každé číslo je dělitelné 1 a samo sebou.

Znaky dělitelnosti

dělitelné	když	příklad
2	poslední číslice je sudá (0, 2, 4, 6, 8)	1 358
3	ciferný součet je dělitelný 3	2 571 (2 + 5 + 7 + 1 = 15)
4	poslední dvojčíslí je dělitelné 4	7 316 (16 = 4 · 4)
5	poslední číslice je 0 nebo 5	4 285
6	je dělitelné 2 i 3	1 254
9	ciferný součet je dělitelný 9	3 762 (3 + 7 + 6 + 2 = 18)
10	poslední číslice je 0	5 430

Složená čísla: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9 – musí platit oba znaky. Obě čísla musí být nesoudělná – dělitelnost 12 nejde ověřit přes 2 a 6: 18 je dělitelné 2 i 6, ale ne 12.

Prvočísla

Prvočíslo má právě dva dělitele: 1 a samo sebe. Číslo složené má dělitelů víc. Číslo 1 není ani prvočíslo, ani složené.

Prvočísla do 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Je číslo prvočíslo? Zkoušíme dělit prvočísly 2, 3, 5, 7, 11, … dokud jejich druhá mocnina nepřesáhne zkoumané číslo. Zrádná čísla: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 91 = 7 · 13, 119 = 7 · 17.

Rozklad na prvočinitele

Dělíme postupně nejmenšími prvočísly, dokud nezbude 1:

360 : 2=180 → 180 : 2=90 → 90 : 2=45 → 45 : 3=15 → 15 : 3=5

360=2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5=23·32·5

V rozkladu smí být jen prvočísla (ne 4, 6, 9, 10 …).

Největší společný dělitel D(a, b)

Vynásobíme společné prvočinitele (každý v nejmenší mocnině).

84=2 · 2 · 3 · 7 126=2 · 3 · 3 · 7

D(84, 126) =2 · 3 · 7=42

Čísla s D = 1 jsou nesoudělná (např. 8 a 15).

Nejmenší společný násobek n(a, b)

Vezmeme všechny prvočinitele (každý v největší mocnině).

12=2 · 2 · 3 18=2 · 3 · 3

n(12, 18) =2 · 2 · 3 · 3=36

Kontrola: D(a, b) · n(a, b) = a · b → 6 · 36 = 12 · 18 = 216.

Společný jmenovatel

Nejmenší společný jmenovatel zlomků = nejmenší společný násobek jmenovatelů.

512+718=1536+1436=2936 (n(12, 18) = 36)

Slovní úlohy – který z nich?

Společný násobek (n): „kdy se znovu potkají / znovu současně“, „nejmenší čtverec z obdélníků“, ozubená kola, blikající světla – výsledek je větší než zadaná čísla.

Společný dělitel (D): „co nejvíce stejných balíčků / kytic“, „co nejdelší kusy“, „co největší čtvercové dlaždice“, „nic nezbude“ – výsledek je menší než zadaná čísla.

Zbytek: „po 4, po 5 i po 6 vždy jedna zbude“ → společný násobek + zbytek.

Nejčastější chyby

✗ Číslo 1 je prvočíslo (není – má jen jednoho dělitele).

✗ Sudé číslo je vždy dělitelné 4 (6, 10, 14 … nejsou).

✗ Dělitelné 3 = dělitelné 9 (12 je dělitelné 3, ale ne 9).

✗ V rozkladu nechat 4 nebo 9 (nejsou prvočísla).

✗ Splést D a n – zkontroluj, jestli má výsledek být menší, nebo větší než zadaná čísla.