☰

Slovní úlohy řešené soustavou

Soustavy rovnic · úroveň 5 – Slovní úlohy

Označíme dvě neznámé, sestavíme dvě rovnice, vyřešíme a odpovíme na otázku.

Níže jsou ukázkové příklady s celým postupem řešení. Nových příkladů tohoto typu vám aplikace vytvoří neomezeně – s kontrolou výsledku, postupem krok za krokem a tiskem na papír.

Procvičit 10 příkladů Tahák – Soustavy rovnic

Příklad 1

Slovní úloha

V pokladničce je 31 mincí – pouze 5korunové a 1korunové, dohromady 131 Kč. Kolik je v pokladničce 5korun?

Řešení krok za krokem
  1. 1Označíme neznámé a sestavíme rovnice
    x … počet 5korun, y … počet 1korun
    1. rovnice:x+y=31
    2. rovnice:5x+y=131
    TipDvě neznámé → potřebujeme dvě rovnice. Každá věta se zadaným údajem dá jednu rovnici.
  2. 2Upravíme rovnice tak, aby se po sečtení odečetlo y
    −x−y=−31(rovnice 1 vynásobená (−1))
    5x+y=131(rovnice 2 beze změny)
    TipKoeficienty u y musí být opačná čísla (např. 6y a −6y). Násobíme celou rovnici – obě strany, každý člen.
  3. 3Rovnice sečteme
    4x=100
    x=100:4=25
    TipSčítáme levé strany zvlášť a pravé strany zvlášť.
  4. 4Dosadíme x = 25 do 1. rovnice
    25+y=31
    y=31−25
    y=6
    TipDosadit můžeme do kterékoli rovnice – vybereme tu jednodušší.
  5. 5Zkouška – dosadíme do obou rovnic
    1. rovnice:25+6=31
    2. rovnice:5·25+6=131
    TipŘešení musí splňovat obě rovnice zároveň. Stačí-li jedna, jde o chybu.
Výsledek: 25

Příklad 2

Slovní úloha

4 jablka a 2 hrušky stojí 38 Kč. 3 jablka a 3 hrušky stojí 36 Kč. Kolik korun stojí jedno jablko?

Řešení krok za krokem
  1. 1Označíme neznámé a sestavíme rovnice
    x … cena jednoho jablka, y … cena jedné hrušky
    1. rovnice:4x+2y=38
    2. rovnice:3x+3y=36
    TipDvě neznámé → potřebujeme dvě rovnice. Každá věta se zadaným údajem dá jednu rovnici.
  2. 2Upravíme rovnice tak, aby se po sečtení odečetlo y
    12x+6y=114(rovnice 1 vynásobená 3)
    −6x−6y=−72(rovnice 2 vynásobená (−2))
    TipKoeficienty u y musí být opačná čísla (např. 6y a −6y). Násobíme celou rovnici – obě strany, každý člen.
  3. 3Rovnice sečteme
    6x=42
    x=42:6=7
    TipSčítáme levé strany zvlášť a pravé strany zvlášť.
  4. 4Dosadíme x = 7 do 1. rovnice
    4·7+2y=38
    2y=38−28
    2y=10
    y=10:2=5
    TipDosadit můžeme do kterékoli rovnice – vybereme tu jednodušší.
  5. 5Zkouška – dosadíme do obou rovnic
    1. rovnice:4·7+2·5=38
    2. rovnice:3·7+3·5=36
    TipŘešení musí splňovat obě rovnice zároveň. Stačí-li jedna, jde o chybu.
Výsledek: 7Kč

Příklad 3

Slovní úloha

4 rohlíky a 1 houska stojí 25,40 Kč. 5 rohlíků a 5 housek stojí 56,50 Kč. Kolik korun stojí jeden rohlík?

Řešení krok za krokem
  1. 1Označíme neznámé a sestavíme rovnice
    x … cena jednoho rohlíku, y … cena jedné housky
    1. rovnice:4x+y=25,40
    2. rovnice:5x+5y=56,50
    TipDvě neznámé → potřebujeme dvě rovnice. Každá věta se zadaným údajem dá jednu rovnici.
  2. 2Upravíme rovnice tak, aby se po sečtení odečetlo y
    20x+5y=127(rovnice 1 vynásobená 5)
    −5x−5y=−56,50(rovnice 2 vynásobená (−1))
    TipKoeficienty u y musí být opačná čísla (např. 6y a −6y). Násobíme celou rovnici – obě strany, každý člen.
  3. 3Rovnice sečteme
    15x=70,50
    x=70,50:15=4,70
    TipSčítáme levé strany zvlášť a pravé strany zvlášť.
  4. 4Dosadíme x = 4,70 do 1. rovnice
    4·4,70+y=25,40
    y=25,40−18,80
    y=6,60
    TipDosadit můžeme do kterékoli rovnice – vybereme tu jednodušší.
  5. 5Zkouška – dosadíme do obou rovnic
    1. rovnice:4·4,70+6,60=25,40
    2. rovnice:5·4,70+5·6,60=56,50
    TipŘešení musí splňovat obě rovnice zároveň. Stačí-li jedna, jde o chybu.
Výsledek: 4,70Kč